航空航天工程的甲级监理公司在监控基础施工时的土方回填过程中，通常会执行以下监测和控制措施：

1. 土方回填质量检查：确保回填土的质量符合相关要求，包括土壤类型、含水量、密实度等指标。监督土方回填施工人员按照要求进行土方回填，并进行现场质量检查。

2. 回填层次控制：监控土方回填的层次和厚度，确保每层回填土的高度和均匀性，避免因不均匀回填导致的不平整或沉降问题。

3. 回填过程记录和监测：记录土方回填过程中的相关参数，如回填层次、压实设备的使用情况和压实效果，以及监测土方回填后的沉降情况。

4. 土方回填压实控制：监督土方回填后的压实工作，确保对回填土进行适当的压实处理，维持土壤的密实度和稳定性。

5. 土方回填后的验收：对完成的土方回填进行验收，根据相关标准和规范进行现场检查和测试，确认回填质量满足要求。

通过以上措施，甲级监理公司可以有效地监控土方回填过程，确保土方回填质量可控，避免基础施工中可能出现的土壤沉降、不均匀沉降等问题，保障工程基础的稳定性和可靠性。